A = Braquist=F3crona

A=20 Braquist=F3crona

Objetivo

Demonstrar que o caminho = mais r=E1pido=20 entre dois pontos, para um objeto sob a a=E7=E3o de uma for=E7a = constante, =E9 uma=20 cicl=F3ide.

Descri=E7=E3o=20

A=20 trajet=F3ria que usa o menor tempo entre dois pontos, sob uma = for=E7a=20 gravitacional constante =E9 uma cicl=F3ide. Essa =E9 a = curva tra=E7ada por=20 um ponto da borda de uma roda que rola sem deslizar. Uma curva com = essa=20 propriedade =E9 chamada pelo belo nome de braquist=F3crona, que vem do grego e = significa=20 simplesmente "curva de tempo m=EDnimo".
Para demonstrar que, = realmente,=20 a cicl=F3ide =E9 uma braquist=F3crona, use tr=EAs pe=E7as longas = de borracha e=20 prenda-as sobre uma prancha de madeira. Uma delas deve ser reta, = outra=20 deve ser uma cicl=F3ide e a terceira uma hip=E9rbole. Para = tra=E7ar essas curvas=20 sobre a prancha, use as f=F3rmulas ou as tabelas dadas no fim = dessa=20 p=E1gina.
Cole as tiras de borracha ou prenda-as com taxinhas. = Ponha a=20 prancha sobre uma mesa, inclinando-a um pouco, apoiando a parte de = cima=20 com um livro grosso, por exemplo. Solte, ao mesmo tempo, duas = bolinhas de=20 gude ("bilas") de vidro ou a=E7o, uma pela reta e outra pela = cicl=F3ide. Essa=20 =FAltima dever=E1 chegar primeiro ao fim da trajet=F3ria. Depois = solte as=20 bolinhas pela cicl=F3ide e pela hip=E9rbole. Novamente, a bolinha = da cicl=F3ide=20 deve ganhar a corrida. Mude o =E2ngulo de inclina=E7=E3o e repita = a experi=EAncia.=20

An=E1lise=20

O=20 problema da braquist=F3crona - isto =E9, achar a curva de menor = tempo de=20 viagem entre dois pontos para um objeto sob uma for=E7a = gravitacional=20 constante - foi resolvido por John Bernoulli, no in=EDcio do = s=E9culo 18. John=20 Bernoulli fazia parte de uma fam=EDlia de matem=E1ticos e = f=EDsicos que deram=20 muitas contribui=E7=F5es =E0 ci=EAncia. A conhecida lei de = Bernoulli, da=20 hidrodin=E2mica, foi demonstrada por Daniel, filho desse John da=20 braquist=F3crona (que nome, heim?).
Demonstrar, = matematicamente, que a=20 cicl=F3ide =E9 uma braquist=F3crona, envolve uma t=E9cnica = matem=E1tica chamada=20 c=E1lculo variacional da qual n=E3o trataremos aqui. Basta = a=20 demonstra=E7=E3o experimental.
Para armar a cicl=F3ide e a = hip=E9rbole sobre a=20 prancha voc=EA pode usar as equa=E7=F5es que damos a seguir ou as = tabelas=20 mostradas no fim dessa p=E1gina.
A cicl=F3ide =E9 descrita = pelas equa=E7=F5es=20 param=E9tricas :

x=20 =3D -=20 sen()=20 e y =3D 1 - cos()

e=20 a equa=E7=E3o da hip=E9rbole =E9 simplesmente y =3D 1/x.
Nas = tabelas dadas no fim=20 da p=E1gina, os valores de X e Y s=E3o gen=E9ricos. Isto =E9, se = voc=EA achar mais=20 conveniente, pode multiplicar ou dividir todos os valores = pelo=20 mesmo fator, para ajust=E1-los =E0s dimens=F5es de sua = prancha.

Material=20

Prancha=20 de madeira.
Tiras de borracha que podem ser compradas em lojas = de pe=E7as=20 de carro. Existem umas tiras usadas para vedar portas de carro que = podem=20 servir. Se preferir, embora seja mais trabalhoso, fa=E7a as curvas = de=20 madeira ou alum=EDnio.
Bolinhas de gude, de prefer=EAncia de=20 a=E7o.

Dicas=20

Procure=20 ler sobre a braquist=F3crona em alguma enciclop=E9dia, para = ilustrar sua=20 apresenta=E7=E3o. A vida dos Bernoulli =E9 cheia de lances = curiosos que voc=EA=20 pode contar durante sua experi=EAncia ou em um folheto anexo. Leia = tamb=E9m=20 sobre a cicl=F3ide, que =E9 uma curva muito interessante. Pergunte = ao seu=20 professor de matem=E1tica sobre ela.
Para tra=E7ar a cicl=F3ide = e a hip=E9rbole=20 use um papel milimetrado e a tabela acima. A reta todo mundo sabe = tra=E7ar.=20 Ponha o papel sobre a prancha, com um carbono por baixo, marque os = pontos=20 e una-os com curvas, passando os tra=E7os para a = prancha.
Quanto maior a=20 prancha melhor o efeito, pois as bolinhas demorar=E3o um pouco = mais a=20 descrever as curvas. Inicialmente ponha a prancha apenas um pouco=20 inclinada, em rela=E7=E3o ao plano da mesa. Fa=E7a a experi=EAncia = com essa=20 pequena inclina=E7=E3o e depois repita-a com inclina=E7=F5es = maiores. Como o=20 resultado =E9 sempre o mesmo, isto =E9, a cicl=F3ide ganha todas, = fica=20 demonstrado que o mesmo ocorreria se a prancha estivesse na = vertical.=20 Talvez d=EA para fazer a experi=EAncia com a prancha na vertical, = mas nesse=20 caso as bolinhas caem muito ligeiro.
Antes de fazer a = experi=EAncia=20 pergunte aos espectadores o que eles esperam ver como resultado.=20 Provavelmente muitos v=E3o dizer que a hip=E9rbole deve ganhar a = corrida, j=E1=20 que =E9 a curva mais =EDngreme. Outros dir=E3o que a reta deve = ganhar, j=E1 que =E9=20 a curva de dist=E2ncia m=EDnima. Esses ficar=E3o surpresos com o = resultado da=20 experi=EAncia.

CICL=D3IDE

Y =

2000

1998

1951

1891

1809

1707

133

1588

209

1454

306

1309

426

1156

571

1000

740

844

934

691

1151

546

1390

412

1649

293

1925

191

2216

109

2518

2828

3142

HIP=C9RBOLE

Y =