PROJETOS = ESPECIAISDemonstrador da distribui=E7=E3o de Gauss

PROJETOS=20 ESPECIAIS
Demonstrador=20 da distribui=E7=E3o de Gauss.=20

Objetivo=20

Demonstrar,=20 experimentalmente, que processos aleat=F3rios independentes levam = =E0=20 distribui=E7=E3o de Gauss, ou distribui=E7ao normal.=20

Descri=E7=E3o=20

Processos=20 aleat=F3rios independentes igualmente prov=E1veis costumam se = agrupar de modo=20 a seguir uma distribui=E7=E3o chamada de "normal" que foi descrita = e estudada=20 por Gauss. Nessa experi=EAncia, os eventos s=E3o as quedas de = bolinhas de gude=20 atrav=E9s de um padr=E3o sim=E9trico de obst=E1culos. Ao se = agruparem em um=20 conjuntos de "gavetas" no fim da queda, as bolinhas mostram um = padr=E3o de=20 arruma=E7=E3o que tende a uma distribui=E7=E3o gaussiana. O = arranjo consiste de=20 uma prancha (de compensado ou outro material conveniente) sobre o = qual =E9=20 montado um uma esp=E9cie de zig-zag de obst=E1culos triangulares. = Bolinhas de=20 gude caem de um funil no alto e v=E3o caindo pelos caminhos = atrav=E9s dos=20 obst=E1culos at=E9 se agruparem em uma s=E9rie de colunas no fim = da prancha. =C0=20 medida que o n=FAmero de bolnhas nas colunas vai crescendo, o = padr=E3o que=20 elas formam vai se aproximando da distribui=E7=E3o de Gauss, a = famosa curva na=20 forma de sino. Essa distribui=E7=E3o mostra que a posi=E7=E3o mais = prov=E1vel de uma=20 bolinha ao fim de seu zig-zag =E9 a posi=E7=E3o central e, quanto = mais distante=20 for a posi=E7=E3o de uma coluna desse centro menor a probabilidade = de uma=20 bolinha cair nela.

Esquema do = arranjo para=20 demonstrar a distribui=E7=E3o de Gauss.
A curva amarela mostra = a=20 distribui=E7ao te=F3rica.

An=E1lise=20

A=20 distribui=E7=E3o de Gauss originalmente serve para mostrar como se = distribuem=20 os erros em uma medida experimental. Mas, pode tamb=E9m mostrar = como se=20 distribuem os dados em v=E1rias situa=E7=F5es originadas de = eventos mutuamente=20 independentes. Os professores, por exemplo, costumam acreditar que = as=20 notas de seus alunos se distribuem gaussianamente em torno da nota = m=E9dia.=20 Isso nem sempre =E9 verdade, mesmo supondo que n=E3o haja cola. = Mas, de=20 qualquer forma, a distribui=E7=E3o de Gauss aparece muito = frequentemente nas=20 estat=EDsticas.

Matematicamente,=20 essa distribui=E7=E3o pode ser escrita como: =

F(x)=20 =3D H e^-h2(x-m)2

Veja=20 a figura. A curva correspondente a essa f=F3rmula tem uma forma de = sino com=20 um valor m=E1ximo H que ocorre quando a vari=E1vel x =E9 igual a = m, isto =E9, a=20 m=E9dia e o m=E1ximo coincidem. A largura da curva =E9 controlada = pelo valor de=20 h. Quanto maior h, mais estreita =E9 a curva.

Material=20

Prancha=20 onde se monta o arranjo de tri=E2ngulos e as colunas. Pode ser de = madeira=20 polida, pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas.=20

Os=20 obst=E1culos triangulares s=E3o de madeira dura e polida. Podem = tamb=E9m ter a=20 forma de hex=E1gonos. Devem ser bem fixos na prancha. =

Bolinhas=20 de gude de vidro. Dependendo do tamanho de sua prancha, podem ser=20 necess=E1rias umas 100 bolinhas ou mais.

Funil=20 de pl=E1stico por onde passam as bolinhas. Deve caber umas 10 = bolinhas. A=20 medida que elas v=E3o descendo, voc=EA vai alimentando o funil com = novas=20 bolinhas.

Dicas=20

N=E3o=20 especificamos dimens=F5es pois todas s=E3o relativas. O n=FAmero = de colunas e o=20 n=FAmero de obst=E1culos =E9 regido pelas dimens=F5es da prancha. = A largura de=20 cada coluna deve ser de 2 a 3 di=E2metros de uma bolinha. O funil = deve=20 deixar passar apenas uma bolinhas de cada vez mas n=E3o deve ser = muito=20 estreito para n=E3o haver entupimento.

O=20 conjunto todo deve ser disposto fazendo um =E2ngulo com a = horizontal. Desse=20 modo as bolinhas n=E3o caem depressa demais e n=E3o tender=E3o a = pular fora. Se=20 achar melhor, cubra o arranjo com uma placa de vidro, mas, isso = encarece o=20 experimento e acrescenta um fator de risco desnecess=E1rio.=20

Na parte mais baixa da prancha, onde ficam = as=20 colunas, desenhe uma curva de Gauss para mostrar como as = distribui=E7=E3o das=20 bolinhas tende a ela. Para facilitar seu trabalho no desenho dessa = curva,=20 damos abaixo uma tabela com o valor da ordenada em 30 pontos. Como = a curva=20 =E9 sim=E9trica, isso equivale a 60 pontos. Use o seguinte esquema = para=20 desenhar essa curva:
1) Escolha o valor de H que se ajusta a = tamanho=20 das colunas e marque esse valor na posi=E7=E3o central.
2) Para = as demais=20 posi=E7=F5es, use a tabela. Por exemplo, na primeira posi=E7=E3o = ao lado da=20 central, a ordenada =E9 H x 0,9950. Na segunda posi=E7=E3o =E9 H x = 0,9802. E assim=20 por diante.
3) Repita o processo para os demais pontos e para o = outro=20 lado da curva.

A=20 dist=E2ncia entre dois pontos vizinhos no eixo horizontal deve ser = tal que=20 caibam os 30 pontos de cada lado da curva. Isto =E9, se sua = prancha tiver,=20 por exemplo, 60 cm de largura, cada ponto distar=E1 (60/2)/30 =3D = 1 cm de seu=20 vizinho, na horizontal. =

TABELA=20 PARA DESENHAR A CURVA DE GAUSS:

Y=20

1,0000

0,9950

0,9802

0,9560

0,8825

0,8353

0,7827

0,7261

0,6670

0,6065

0,5461

0,4868

0,4296

0,3753

0,3247

Y =

0,2780

0,2357

0,1979

0,1645

0,1327

0,1102

0,0889

0,0071

0,0056

0,0044

0,0034

0,0026

0,0020

0,0015

0,0011