Caixa de f=F3sforos = e chaves

Caixa=20 de f=F3sforos e chaves.

Objetivo=20

Uma=20 demonstra=E7=E3o surpreendente da acelera=E7=E3o rotacional e do = atrito=20 exponencial de um cabo enrolado.=20

Descri=E7=E3o

Use um=20 barbante de 1 metro ou mais de comprimento e amarre, em uma ponta, = um=20 molho de chaves e, na outra ponta, uma caixa de f=F3sforos de = papel. Estenda=20 o barbante passando sobre um l=E1pis que serve de polia. Com uma = m=E3o voc=EA=20 segura a caixa de f=F3sforos e, com a outra, segura o l=E1pis. As = chaves ficam=20 penduradas bem perto do l=E1pis e os f=F3sforos um pouco abaixo do = n=EDvel do=20 l=E1pis, com o barbante esticado quase horizontalmente.
Quando = voc=EA=20 soltar a caixa de f=F3sforos, o que acontece? Ser=E1 que o molho = de chaves=20 atinge o solo?

An=E1lise=20

Tente=20 a experi=EAncia pois o resultado =E9 surpreendente: as chaves = n=E3o atingem o=20 solo. Duas propriedades f=EDsicas, pelo menos, est=E3o envolvidas = nesse=20 resultado. Quando o barbante vai encurtando a velocidade = rotacional da=20 ponta com os f=F3sforos aumenta rapidamente, como uma bailarina = que gira e=20 fecha os bra=E7os, diminuindo o momento de in=E9rcia I. Para = conservar o=20 momento angular L =3D I w, a velocidade angular w aumenta. O = barbante gira=20 em torno do l=E1pis e se enrola nele v=E1rias vezes. Entra em = a=E7=E3o o segundo=20 efeito: o atrito entre o barbante e o l=E1pis cresce = exponencialmente=20 com o n=FAmero de voltas.
Esse efeito explica porque =E9 = f=E1cil prender um=20 objeto pesado, como um barco, por exemplo, apenas amarrando-o com = uma=20 corda em um mastro.
O matem=E1tico Leonard Euler (pronuncia-se = "=D3iler")=20 achou uma f=F3rmula para esse efeito: F =3D f = e^kx, onde=20 F =E9 a for=E7a do lado pesado e f =E9 a for=E7a = necess=E1ria para=20 equilibrar F. k =E9 o coeficiente de atrito entre o = mastro e a=20 corda e e =3D 2,728... =E9 a base dos logaritmos naturais. = x =E9 o=20 =E2ngulo de enrolamento, cada volta correspondendo a=20 2.
Por=20 exemplo, se o coeficiente de atrito for 1/3 e a corda der 3 = voltas, qual =E9=20 a for=E7a necess=E1ria para segurar um pux=E3o de 5 = toneladas?
O =E2ngulo=20 x =E9: x =3D 3x2=3D=20 6.=20 Logo, k x =3D 2
Usando=20 a f=F3rmula de Euler, obtemos:

5000=20 =3D f x 2,728 ^{2 x 3,1416}

Use=20 logaritmos para achar: f =3D 9,3 kgf.
Se o atrito for um = pouco=20 maior e o n=FAmero de voltas for 5 ou mais, n=E3o =E9 nem = necess=E1rio segurar a=20 outra ponta pois a for=E7a f fica min=FAscula.

Material=20 usado=20

Um=20 molho de chaves.
Uma caixa de f=F3sforos de papel.
Um = l=E1pis.
Um=20 peda=E7o de barbante de 1 metro ou=20 mais.

Dicas=20

A=20 experi=EAncia =E9 simples mas o resultado =E9 surpreendente e a = f=EDsica =E9=20 sofisticada. Elabore um pouco mais o estudo do atrito exponencial = e=20 explore o uso do princ=EDpio da conserva=E7=E3o do momento = angular.=20